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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
a) $a_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}$
a) $a_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}$
Respuesta
Calculamos este límite:
Reportar problema
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}$
Lo primero que quiero que veas es, a ojo, mirando el grado de los polinomios, con todo lo que vimos en el ejercicio anterior... ¿A dónde está tendiendo eso? Bueno, el primer cociente está tendiendo a $+\infty$ y el segundo también. Por lo tanto $+\infty + \infty = +\infty$ y ese va a ser el resultado del límite. ¿Cómo justificamos que cada cociente se está yendo a $+\infty$? Sacando factor común el que manda. Arrancamos con el primer cociente:
Cálculo auxiliar 1
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{n(1+\frac{3}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{1+\frac{3}{n}} = +\infty$
Cálculo auxiliar 2
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+5}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1+\frac{5}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1+\frac{5}{n^2})}{1+\frac{1}{n}} = +\infty$
Por lo tanto,
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1} = +\infty$